Ukuran Gejala Pusat

Pengertian:

Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyain kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke dalam suatun kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data. Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah:

1. Mayor Means terdiri dari:

•  Rata-rata hitung (Arithmetic means)
•  Median
•  Quartile
•  Decile
•  Percentile
•  Modus
•  Mean

2. Minor Means, terdiri dari:

• Rata-rata ukur (Geometric means)
• Rata-rata Harmonis (Harmonic Means)
• Rata-rata Tertimbang
• Rata-rata KuadratisRata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)
• Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan data populasi maupun data sampel, dan dari data yang belum dikelompokkan maupun yang sudah dikelompokkan.

   x = data ke n
                                                    x bar = x rata-rata = nilai rata-rata sampel
                                                          n = banyaknya data.

Contoh soal : seorang guru mencatat nilai siswa nya sebagai berikut 6,5,5,7,7.5,8,6.5,5.5,6,9 .Berapakah mean (nilai rata) dari data tersebut


1. Rata-rata Hitung

• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai merata atau yang mempunyai nilai dengan sebaran nilai yang relatif kecil
• Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka.
• Tidak dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.
• Tidak dapat digunakan untuk kelompok data yang mempunyai data ekstrim.
• Data yang digunakan adalah data yang mempunyai skala pengukuran interval atau rasio.
• Harganya unik atau hanya mempunyai satu nilai.

2. Rata-rata Tertimbang
Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel yang mempunyai tingkat
pengukuran interval/rasio dengan hasil pengukuran X1, X2, …XN. Masing-masing
hasil pengukuran mempunyai bobot B1, B2, … BN, maka rata-rata didefinisikan
sebagai rata-rata tertimbang.

3. Median

• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai nilai ekstrim
• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari suatu DF terbuka atau tertutup.
• Dapat dipakai untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif.

Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini.
jawab: Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh  79 82 86 92 93
Oleh karena itu medianya adalah 86

Kada nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3, 2.7, 2.5, 2.9, 3.1, dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya.
jawab: Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7, yaitu
 
4. Modus
Adalah suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai frekuensi tertinggi atau
bilangan yang sering muncul.

• Dapat digunakan untuk data yang mempunyai skala pengukuran minimal adalah nominal.
• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang menunjukkan keadaan yang ‘merajalela’.

 1 .Data yang belum dikelompokkan Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo. 
2. Data yang telah dikelompokkan  Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya.

Contoh:
Sumbangan dari warga Bogor pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Maka modusnya, yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling tinggi, adalah Rp 9.000.
Dari dua belas pelajar sekolah lanjutan tingkat atas yang diambil secara acak dicatat berapa kali mereka menonton film selama sebulan lalu. Data yang diperoleh adalah ,0, 3, 1, 2, 4, 2, 5, 4, 0, 1 dan 4. Modusnya  yaitu 4

5.Quartile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama.

1. Mengurutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar
2. Tentukan median (kuartil tengah / Q_{2 )}
3. Tentukan kuartil bawah / Q₁ (nilai tengah dari data sebelum Q₂ atau 1/4 ukuran data )
4. Tentukan kuartil atas / Q₃ (nilai tengah dari data sesudah Q₂ atau 3/4 ukuran data )

 Kuartil satu (K₁) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi di bagian bawah dan 75% frekuensi di bagian atas distribusi. Rumus untuk menghitung K₁adalah sebagai berikut: 

Dimana, x jumlah individu (N),  Kuartil Satu

 Batas Bawah nyata pada interval yang mengandung kuartil

 frekuensi kumulatif di bawah fk yang mengandung kuartil.

fd frekuensi pada interval yang mengandung Kuartil    i  = lebar interval

Tabel 3.12. Berikut adalah contoh untuk mencari kuartil satu.

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 4 3 (6) 3	23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23	-

Diketahui,

   = 5,75 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

 7,5       3        6         i = 5

Kuartil Dua (K₂)

            Kuarti dua (K₂) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi dibawah distribusi dan 50% di atas distribusi. Oleh karena (K₂) membagi distribusi menjadi dua bagian secara sama, maka sebenarnya (K₂) tidak lain adalah median.

Tabel 3.13. merupakan contoh untuk mencari kuartil dua

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 9 – 12 3 – 7	5 2 4 (3) 6 3	23 18 16 12 (9) 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

 =11,5 (terletak pada fk = 12 interval 13 – 17

 12,5       9      3     i  = 5

Kuartil Tiga (K₃)

            Kuartil tiga (K₃) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi di bagian bawah dan 25% frekuensi di bagian atas. Rumus untuk menghitung (K₃) adalah sebagai berikut:

Tabel 3.14 merupakan contoh untuk mencari kuartil tiga

Interval Nilai	f	S fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 10 – 12 3 – 7	5 (2) 4 3 6 3	23 18 (16) 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

= 17,25 (terletak pada fk = 18 interval 23 – 17)

 22,5        16       2        i = 5

Contoh: Tentukanlah kuartil Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut: 40,30,50,65,45,55,70,60,80,35,85,95,100.

Jawab:

Urutan data : 30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100.

Q_i = nilai ke – , di mana n = 13

Maka nilai kuartil Q₁, Q₂, Q₃ adalah sebagai berikut:

Q₁ = nilai ke - = nilai ke – 14/2 = nilai ke-3 ½

     = antara nilai ke -3 dan nilai ke-4

     = nilai ke-3 + ½ (nilai ke-4 – nilai ke-3)

     = 40 + ½ (85 – 40) = 42,5

Q₂ = nilai ke- = nilai ke-7 = 60

Q₃ = nilai ke-  = nilai ke-10 ½

     = nilai ke-10 + ½ (nilai ke-11 – nilai ke-10)

     = 80 + ½ (85 – 80) = 82,5.

Tabel 3.16 Berikut adalah contoh untuk data berkelompok yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi.

Modal	Nilai Tengah (X)	Frekuensi (f)
112 – 120 121 – 129 130 – 138 139 – 147 148 – 156 157 – 165 166 – 174	116 125 134 143 152 161 170	4 5 8 12 5 4 2

Tentukan nilai kuartil Q₁, Q₂ dan Q₃ dari data tersebut!

Jawab:

Menentukan terlebih dahulu kelas interval Q₁, Q₂ dan Q₃

Q₁, membagi data menjadi 25 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_2, membagi data menjadi 50 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_3, membagi data menjadi 75 % ke bawah dan 25 % ke atas.

Karena n = 40, maka Q₁ terletak pada kelas 130 – 138, Q₂ terletak pada kelas 139 – 147, dan Q₃ terletak pada kelas 148 – 156.

Q_i = L₀ + c

Untuk Q₁, maka L₀ = 129,5, F = 4 + 5 = 9, dan f = 8, sehingga diperoleh:

          Q₁ = 129,5 + 9  = 129,5 + 9 (0,125) = 130,625.

Untuk Q₂, maka L₀ = 138,5, F = 4 + 5 + 8 = 17, dan f = 12, sehingga diperoleh:

          Q₂ = 138,5 + 9  = 140,75.

Terlihat bahwa nilai Q₂ sama dengan median.

Untuk Q₃, maka L₀ = 147,5, F = 29, dan f = 5, sehingga diperoleh:

          Q₃ = 147,5 + 9  = 149,3

6.Decile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama.Jika suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈, dan D₉. Dasar perhitungan desil adalah menggunakan angka persepuluhan. D₁ = 1/10 N, D₂ = 2/10 N, D₅ = 5/10 N, D₉ = 9/10 N dan seterusnya. Rumus-rumus untuk menghitung desil: 

Tabel 3.17 adalah contoh untuk mencari desil tiga (D₃)

terval Nilai		f		fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7		5 2 4 3 (6) 3		23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23		-

Misalkan kita akan menghitung Desil tiga, maka langkah-langkah yang akan kita lakukan adalah sebagai berikut.

Diketahui,        = 6,69 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

 7,5            3         6       i  = 5

Maka nilai D₃ dapat dihitung sebagai berikut:

            Arti dari D₃ = 10,75 adalah bahwa nilai 10,75 itu membatasi 30% (3/10N) frekuensi di bawah distribusi dan 70% (7/10N) frekuensi di sebelah atas distribusi. Untuk penghitungan macam-macam desil yang lain menggunakan prosedur yang sama. Apabila nanti diteruskan sampai perhitungan D₅ maka akan dijumpai penggunaan angka dasar 5/10N yang harganya sama dengan ½ N (angka dasar pada median dan K₂), hal ini menunjukkan bahwa sebenarnya D₅ = Mdn = K₂.

7.Percentile
Adalah bilangan-bilangan atau keterangan-keterangan yang membagi suatu deretan
bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama.Bedanya, jika median distribusinya dibagi menjadi 2 kategori, kuartil dibagi menjadi 4 kategori, desil dibagi menjadi 10 kategori, maka persentil distribusinya dibagi menjadi 100 kategori. Sehingga dalam perhitungannya nanti akan dijumpai sebanyak 99 titik persentil. Dari P₁, P₂ sampai dengan P₉₉. 

            Angka dasar yang digunakan dalam persentil adalah perseratusan, misalnya untuk P₁ = 1/100.N, P₂₅ = 25/100.N (atau ¼ . N seperti angka dasar K₁, sehingga P₂₅ = K₁). Demikian juga untuk P₅₀ = 50/100.N (= ½.N, yang berarti bahwa P₅₀ = Mdn = K₂ = D₅). Kesamaan-kesamaan pada macam-macam pengukuran ini mudah dipahami karena angka dasar yang digunakan seringkali menghasilkan nilai yang sama meskipun penampakannya berbeda, hal ini akan kita temukan lagi misalnya: D₁ = P₁₀, D₂ = P₂₀, K₃ = P₇₅, dan sebagainya.

            Melalui persentil seorang peneliti dapat dengan leluasa membagi distribusi data yang dimilikinya kedalam jumlah-jumlah kategori yang dikehendakinya. Misalnya jika penelitian ingin membagi distribusi data tentang skor-skor stress kerja (yang masih berupa data interval) menjadi 5 kategori data ordinal (misalnya tinggi sekali, tinggi, sedang, rendah dan rendah sekali) maka peneliti harus menemukan 4 titik persentil dengan jalan melakukan pembagian, 100/5 = 20. Angka 20 ini nanti akan berfungsi sebagai kelipatan yang digunakan untuk menentukan dasar pembuatan kategori. Maka 5 kategori yang digunakan tersebut akan dibatasi oleh titik-titik P₂₀, P₄₀, P₆₀, dan P₈₀. Untuk pembagian ke dalam jumlah-jumlah kategori yang lain dapat dikembangkan oleh para pembaca sendiri. Misalnya kita akan menghitung persentil 60, maka rumusnya adalah:

Tabel 3.18 adalah contoh untuk mencari persentil 60

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 (4) 3 6 3	23 18 16 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,  =  13,8 (terletak pada fk = 16 interval 18 – 22)

 17     12        4       i  = 5

Maka data tersebut didapatkan harga P₆₀ sebesar:

            Dari hasil tersebut dapat diketahui bahwa P₆₀ = 19,75, artinya bahwa yang membatasi antara 60% distribusi bagian bahwa dengan 40% distribusi bagian atas adalah nilai 19,75. Dalam penelitian persentil berguna untuk:

• Membagi distribusi menjadi beberapa kelas yang sama besar frekuensinya.
• Memisahkan sebagaian distribusi dari sisanya.
• Menyusun norma penelitian, dan menormalisasikan distribusi.